TS State Board

TS 10th Class Maths Concept (T/M)

Education, TS SSC / Nayini Satyanarayana Reddy

10 వ తరగతి గణితం నోట్స్ 10 వ తరగతి గణితం 10 వ తరగతి గణిత శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడం అంటే, పిల్లలు తమ స్వంత అభ్యాసానికి బాధ్యత వహిస్తారు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి భావనలను వర్తింపజేయడం నేర్చుకుంటారు. ఈ విషయం . ఈ గమనికలు విద్యార్థులకు గణితంను ఇస్టపడేలా మరియు భయాన్ని అధిగమించడానికి సహాయపడతాయి. 1. వాస్తవ సంఖ్యలు మనం ముందు తరగతులలో వివిధ రకాలైన సంఖ్యలను గురించి తెలుసుకున్నాము .అంటే సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, కరణీయ , అకరణీయ సంఖ్యలను గురించి నేర్చుకున్నాము . అకరణీయ సంఖ్యలు : p,q లు పూర్ణ సంఖ్య లై , q ≠ 0 అయిన సందర్భం లో రూపం లో రాయగల సంఖ్య లను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని Q తో సూచిస్తారు . ఉదా :- మొదలగునవి. కరణీయ సంఖ్యలు : రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని QI లేదా S తో సూచిస్తారు . ఉదా :- మొదలగునవి. వాస్తవ సంఖ్యలు : అకరణీయ , కరణీయ సంఖ్యల సమూహాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు . కింది పటములో మనం వీటిని చూడ వచ్చు. భాగహార శేష నిధి : a, b అనే ధన పూర్ణాంకాలు ఇచ్చినప్పుడు a = b q + r, 0≤ r <b అయ్యే విధంగా ఏకైక జత పూర్ణాంకాలు q ,r లు వ్యవస్తితం అవుతాయి. ఇది అందరికి తెలిసినప్పటికీ యూక్లిడ్ పుస్తకాల సంకలనం లోని 7 వ పుస్తకం లో మొట్టమొదటగా నమోదు చేయడం జరిగింది. ఈ భాగహార శేషనిధి మీద యూక్లిడ్ భాగహార శేష నిధి ఆధారపడి ఉంది. యూక్లిడ్ భాగహార శేషనిధి కేవలం ధన పూర్ణ సంఖ్యల పైనే నిర్వచించ బడినా , దానిని అన్ని శూన్యేతర పూర్ణ సంఖ్యలకు అనువర్తింప చేయవచ్చు . యూక్లిడ్ భాగహార శేషనిధి ఉపయోగించి గ . సా . భా ను కనుక్కోవడం : రెండు ధన పూర్ణ సంఖ్యల సామాన్య కారాణాంకాలలోని అతి పెద్ద కారణాo న్కాన్ని గ .సా. భా అంటారు . ఉదా:- 9 , 24 ల గ . సా .భా కనుక్కోవడం దీనిని 24 = 9×2 + 18 గా రాయవచ్చు 9 , 24 కన్నా పెద్దది కావున 24 ను 9 చే భాగిస్తే శేషం 6 వస్తుంది పై దానిలో ని భాజకం 9 మరియు 6 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా 9 = 6 ×1 + 3 గా రాయవచ్చు పై దానిలో ని భాజకం 6 మరియు శేషం 3 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా దానిని 6 = 3 ×2 + 0 గా రాయవచ్చు పై దాని లో శేషం సున్నా వచ్చింది కావున 9 , 24 ల గ . సా .భా 3 అవుతుంది. ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతం : ప్రతి సంయుక్త సఖ్యను ప్రదానానంకముల లబ్దంగా రాయవచ్చు మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దం ఏకైకం . ఒక సంయుక్త సంఖ్య x ను x = p 1 p 2 ….p n అని రాయవచ్చు . దీనిలో p 1 , p 2, …., p n ఆరోహణ క్రమం లో రాయబడిన ప్రధానాంకాలు , అంటే p 1≤ p 2 ≤….≤ p n. ఈ సందర్భం లో ఒకే రకమైన ప్రదానంకములు వాడినచో వాటిని ప్రధానాంకాల ఘా తాoకాలుగా రాస్తాము . ఒకసారి మనం ఈ సంఖ్యలు ఆరోహణ క్రమంలో ఉన్నాయని భావిస్తే . అప్పుడు లబ్దం ఏకైకం . ఉదా :- 360 = 3×3×2× 2 × 2 × 5 = 32 × 23 × 5 ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ద పద్ధతి ద్వారా గా. సా . భా మరియు కా . సా . గు కనుక్కోవడం; 9 , 24 ల గ . సా .భా మరియు కా. సా . గు. కనుక్కోవడం 9 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 3 × 3 = 32 24 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 2 × 2 ×2 × 3 = 23 ×31 9 , 24 ల గ . సా .భా = 31 = 3 ( సంక్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకంల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం ) 9 , 24 ల కా. సా . గు.= 32× 23 = 9×8 = 72 (సంఖ్యల యొక్క కారణాంకంల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం) అకరణీయ సంఖ్యలు మరియు వాటి దశాంశ రూపాలు : x అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు దీని ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము ,అయినప్పుడు x ను p, q లు పరస్పర ప్రధా నాంకములు అయివున్న p /q రూపం లో వ్యక్త పరచవచ్చు . మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n అగును , n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు . పై దాని విపర్యయం ఇలా ఉంటెుంది • n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n కలిగినటువంటి అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము అగును , • n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n రూపంలో లేకుంటే , అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును. ఉదా :- కరణీయ సంఖ్యలు :- • p, q లు కరణీయ సంఖ్యలు మరయు q ≠ 0 అయిన p /q రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . • ప్రతీ కరణీయ సంఖ్య ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును. ప్రవచనం: p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే “ a2 ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే a ను p నిశ్శేషంగాభాగిస్తుంది. ఘాతాలు : • a n ను ఘాతాంక రూపం అంటాము. a ను భూమి అని , n ను ఘాతము అని అంటారు. (i) (ii) (iii) ( am)n = amn (iv) a0 = 1 సంవర్గమానాలు:- x మరియు aలు ధనపూర్ణసంఖ్యలై a ≠1 అయివుండి ax = n అయిన x = అగును. 2. సమితులు • గణిత పరిశోధనలలో సమితి వాదాన్ని ‘ జార్జి కాంటర్’ అభివృద్ధి పరిచారు. సమితి: సునిర్విచిత వస్తువుల సముదాయాన్ని సమితి అంటారు. • సునిర్విచితం అనగా : 1 . సమితిలోని వస్తువులన్నిటికి ఒకే విధమైన సామాన్య పోలిక లేదా ధర్మం కలిగి ఉండాలి . 2 . ఏదైనా ఓకే సమితికి చెందినది, లేనిది నిర్దారించే టట్లు ఉండాలి. • సమితి పేరును ఇంగ్లీష్ వర్ణమాల లోని పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు. ఉదాహరణకు A, B, … మొదలగునవి. • ఏదైనా ఓకే వస్తువు ఒక సమితికి చెందితే దాన్ని వస్తువులు/ మూలకాలు అంటారు . చెందినది (belongs to) అని తెలపటానికి మనం ∈ గుర్తు తో సూచిస్తాము.సమితికి చెందినది అయితే దానిని ∉ చే సూచిస్తాము. • జాబితా రూపం లేదా రోస్టర్ రూపం : సమితికి చెందిన మూలకాలన్నిటిని ‘కామ’ (,) తో వేరు చేసి ప్లవర్ బ్రాకెట్ { } లో ఉంచితే వచ్చే రూపాన్ని జాబితా రూపం లేదా రోస్టర్ రూపం అంటారు. ఉదా :- A = {1, 2, 3, 4}, B = { a, e, I, o, u}. • సమితి నిర్మాణ రూపం లేదా లాక్షణిక రూపం : సమితి లోని మూలకాన్ని x ( లేక y, z మొదలగు ఏవైన గుర్తులు ) గా సూచించి , x ప్రక్కన : లేదా / (colon ) ఉంచి ఆ సమితి కి చెందిన మూలకాల యొక్క లక్షణాలు లేదా ధర్మాలను రాసి ప్లవర్ బ్రాకెట్ { } ఉంచితే వచ్చే రూపాన్ని సమితి నిర్మాణ రూపం లేదా లాక్షణిక రూపం అంటారు . : లేదా / గుర్తులను such that అని చదువుతాము . ఉదా :- A = { x/ x ఒక సరి సంఖ్య మరియి x ∈N }, B = { y : y ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు x < 10 }. సమితులు – రకాలు

TS 10th Class Maths Concept (T/M) Read More »

TS 8th Class Maths Concept

Education, TS State VI - IX / Nayini Satyanarayana Reddy

viii Class Maths || TS 8th Class Maths Concept viii Class Maths TS 6th Maths Concept TS 7th Maths Concept TS 8th Maths Concept TS 9th Maths Concept TS 10th Maths Concept viii Class Maths Studying maths in VIII class successfully meaning that children take responsibility for their own learning and learn to apply the concepts to solve problems. This notes is designed by the ‘Basics in Maths team’. These notes to do help students fall in love with mathematics and overcome fear. 1. RATIONAL NUMBERS • Natural numbers: All the counting numbers starting from 1 are called Natural numbers. 1, 2, 3… Etc. • Whole numbers: Whole numbers are the collection of natural numbers. 0, 1, 2, 3 … • Integers: integers are the collection of whole numbers and negative numbers. ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…. • Rational numbers: The numbers which are written in the form of p/q, where p, q are integers and q ≠ 0 are called rational numbers. Rational numbers are denoted by Q. Properties of Rational numbers • Natural numbers: 1.Closure property:- 2.Commutative property:- 3. Associative property:- • Whole numbers: 1. Closure property:- 2.Commutative property:- 3. Associative property:- • Integers: 1. Closure property:- 2.Commutative property:- 3. Associative property:- • Rational numbers: 1. Closure property:- 2.Commutative property:- 3. Associative property:- Additive identity:- 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 3/2 + 0 = 0 + 3/2 = 3/2 • For any rational number ‘a’, a + 0 = 0 + a • 0 is the additive identity. Additive inverse:- 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0, 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 • For any rational number ‘a’, a+ (-a) = (-a) + a = 0 • Additive inverse of a = -a and additive inverse of (-a) = a Multiplicative identity:- 2 × 1 = 1 × 2 = 2, 6 ×1/6 = 1 × 1/6 = 1/6 • For any rational number ‘a’, a × 1 = 1 × a = a • 1 is the multiplicative identity. Multiplicative inverse:- 2 × 1/2 = 1/2 × 2 =1 For any rational number ‘a’, a × 1/a = 1/a × a = 1 • multiplicative inverse of a =1/a • Multiplicative inverse of 1/a= a. Distributive property:- For any three rational numbers a, b and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 3/2×(5/3+1/5)=(3/2×5/3)+(3/2×1/5) Representing rational numbers on a number line: Ex: represent 29/6 on a number line this lies between 4 and 5 Divide the number line between 4 and 5 into 6 equal parts. Mark 5th part counting from 4. The role of zero: • If 0 is added to any rational number, then the rational number remains the same. For any rational number ‘a’ a + 0 = a = 0 + a • 0 is the additive identity. • Natural numbers do not have an additive identity. Additive inverse:- for any rational number ‘a’ a + (-a) = 0 = (-a) + a 3 + (-3) = 0, 10 + (-10) = 0 • additive inverse of ‘a’ is ‘-a’ and additive inverse of ‘-a’ is ‘a’ The role of 1: • If 1 is multiplied to any rational number, then the rational number remains same. For any rational number ‘a’ a × 1 = a = 1 × a 1 is the multiplicative identity. Multiplicative inverse:- 3 × 1/3 = 1 = 1/3 × 3 for any natural number ‘a’ a × 1/a = 1 = 1/a ×a • Multiplicative inverse of ‘a’ is ‘1/a’ and multiplicative inverse of ‘1/a’ is ‘a’ Distributive property: For any 3 rational numbers a, b and c, a (b + c) = ab + ac Ex:- 1/3 (2/5 + 1/5) = 1/3(3/5) = 3/15 1/3× 2/5 + 1/3 × 1/5 = 2/5 + 1/5 = 3/5 Inserting rational numbers between given two numbers: • There are infinitely many rational numbers between given two numbers. • We have two methods to find rational numbers between two numbers. First method: – First we have to convert given rational numbers as the same denominator and write the rational numbers which come between given numbers. Second method: – if a and b any given rational numbers then a/bis a rational number between a and b. The decimal representation of rational numbers The decimal expansion of rational is either terminating or non-terminating repeating decimal. Note:-Decimal numbers with the finite no. of digits is called terminating Decimal numbers with the infinite no. of digits is called non-terminating decimal. In a decimal, a digit or a sequence of digits in the decimal part keeps repeating itself infinitely. Such decimals are called non-terminating repeating decimals. Terminating decimals: Consider a rational number = 0.75 Non-terminating decimals: Consider a rational number 2-3 2/3 = 0.66666… 2/3 = 2. LINEAR EQUATIONS IN ONE VARIABLE Equations: An algebraic equation is the equality of algebraic expressions involving variables and constants. It has an equality sign. The expression on the left of the equality sign is called the LHS (Left Hand Side) and right of the equality is called RHS (Right Hand Side) of the equation. In an equation, the value of RHS and LHS are equal. This happens to be true only for certain values of the variable. This value is called the solution of the equation. Linear equations: If the degree of the equation is 1, then it is called a linear equation. Ex: 2x – 3 = 5, x = 3y, 5x + 3y = 3 and so

TS 8th Class Maths Concept Read More »

TS 9th Class Math Concept

Education, TS State VI - IX / Nayini Satyanarayana Reddy

ix Class Maths Concept ix Class Maths 6th Maths Concept 7th Maths Concept 8th Maths Concept 9th Maths Concept 10th Maths Concept TS IX CLASS MATHS CONCEPT Studying maths in IX class successfully means that children take responsibility for their own learning and learn to apply the concepts to solve problems. This note is designed by the ‘Basics in Maths’ team. These notes to do help students fall in love with mathematics and overcome fear. 1.REAL NUMBERS Rational numbers:- The numbers which are written in the form of, where p, q are integers and q≠ 0 are called rational numbers. Rational numbers are denoted by Q. ex:- 3/2, 3/5, 2, 1 and so on Natural numbers, Whole numbers, and Integers are rational numbers. The rational numbers do not have a unique representation. Representation of rational number: Represent To find a rational number between given numbers: Mean method:- A rational number between two numbers a and b is Ex:- insert two rational number between 1 and 2 To find a rational number in a single step:- Ex:- insert two rational number between 1 and 2 To find two rational numbers, we 1 and 2 as rational numbers with same denominator 3 (∵ 1 + 2 = 3) The decimal form of rational numbers: Note:- Every rational number can be expressed as a terminating decimal or non-terminating repeating decimal. Converting decimal form into a fraction: Terminating decimals:- (i) 1.2 = 12/10 = 6/5 (ii) 1.35 =135/100 = 135/100 = 27/20 Non-Terminating repeating decimals:- Irrational numbers: The numbers which are not written in the form of, where p, q are integers and q ≠ 0 are called rational numbers. Rational numbers are denoted by QI or S. Every irrational number can be expressed as a non-terminating decimal or non-repeating decimal. Ex:- Calculation of square roots: There is a reference of irrationals in the calculation of square roots in Sulbha Sutra. Procedure to find value: Representing irrational numbers on a number line: Ex:- Locate on a number line At ‘O’ draw a unit square OABC on a number line with each side 1 unit in length. By Pythagoras theorem OB2 = OA2 + AB2 = 12 + 12 OB2 = 2 OB = Using a compass with centre O and radius OB, draw an arc on the right side to O intersecting the number line at the point The location of is now at k. Note:- If a and b are two positive rational numbers such that ab is not a perfect square, this an irrational number lies between a and b. Real numbers The collection of all rational and irrational numbers is called real numbers. Real numbers cover all the points on the number line. Every real number is represented by a unique point on the number line. Ex:- are some examples of real numbers. Representing real numbers on the number line through successive magnifications:- locating 2. 775 on a number line Operation on real numbers The sum, difference, product and quotient of irrational numbers need not be an irrational number. Irrational numbers are not closed under addition, subtraction, multiplication, and division. For any two real numbers a and b Rationalizing the denominator: Rationalizing factor(R.F):-If the product of two irrational numbers is rational, then each of the two is the rationalizing factor to others. The rationalizing factor of a given irrational number is not unique. It is convenient to use the simplest of all R.F.s of given irrational number. Note:- Law of exponents for real numbers: 2. POLYNOMIALS AND FACTORIZATION Polynomial: An algebraic expression in which the variables involved have only whole number powers is called a polynomial. Ex: x2 , x3 + 1, x2 + xy + y2 and so on. Polynomials in one variable: The polynomials which are in the form of (a constant) × (some power of variable) are called polynomials in one variable. Ex: 2x, 4x, 3×2 + 1 and so on. Degree of the polynomial: The degree of a term is the sum of the exponent of its variable factors. The degree of the polynomial is the highest power of its variable term. Ex: degree of 3×2 + 2×3 + 1 is 3 degree of 5x2y3 + 2xy + 3×3 is 5 a polynomial in one variable x of degree n is anxn + an-1xn-1 + …+a1x + a0. Where a0, a1…an are constants and an ≠ 0. Types of polynomials: According to no. of terms: No. of non-zero terms Name of the polynomial Examples Terms 1 Monomial 3x 3x 2 Binomial -2 x + 7 -2x, 7 3 Trinomial 5×2 + 4x + 2 5×2, 4x, 2 More than 3 Multinomial 6×3 – 5×2 + 7x – 3 6×3, -5×2, x, -3 According to a degree: Degree of the polynomial Name of the polynomial Example Not defined Zero polynomial 0 0 Constant polynomial -12, 4, 7 etc. 1 Linear polynomial 2x+3, x – 3 etc. 2 Quadratic polynomial 2×2 + 3x + 1, x2 – 4 etc. 3 Cubic polynomial 3×3 – 4×2 + 2x + 6 4 Bi quadratic polynomial 4×4 + 2×3 + 45×2 +9x + 7 Zero of the polynomial: Let p(x) be a polynomial, if p(x) = 0 then, x is the zero of the polynomial p(x). Ex: p(x) = 2x – 2 P(1) = 2(1) – 2 = 2 – 2 = 0 ∴ 1 is the zero of the polynomial. Zero of the linear polynomial in one variable: Linear polynomial Zero of the polynomial x+ a – a x – a a ax + b -b/a ax – b b/a Dividing polynomials: If p(x) is divided by g(x), then there exists quotient polynomial q(x) and remainder r(x) such that p(x) = q(x) × g(x) + r(x) this

TS 9th Class Math Concept Read More »