Home| Basics In Maths | Practice Makes Maths Perfect

Unlocking Your Potential Strategies for Improving Math Skills

Blog, Education / Nayini Satyanarayana Reddy

Unlocking Your Potential: Strategies for Improving Math Skills Unlocking Your Potential: Mathematics is a subject that often intimidates and challenges many individuals. However, with the right approach and mindset, anyone can improve their math skills and develop a strong foundation in numerical reasoning. In this blog post, we will explore effective strategies and techniques to enhance your math abilities, boost confidence, and foster a deeper understanding of mathematical concepts. Embrace a Growth Mindset: Developing a growth mindset is crucial for overcoming math-related obstacles. Understand that intelligence is not fixed, and with effort and perseverance, you can improve your skills. Embrace challenges as opportunities for growth and view mistakes as learning opportunities rather than failures. Practice Regularly: Consistent practice is key to improving math skills. Allocate dedicated time each day or week to work on math problems, exercises, and concepts. Start with the basics and gradually progress to more complex topics. Repetition and exposure to various problem-solving techniques will reinforce your understanding and speed. Strengthen Foundational Knowledge: Mathematics builds upon foundational concepts. Ensure you have a solid understanding of basic arithmetic operations, fractions, decimals, and percentages. Strengthening these fundamentals will make it easier to tackle advanced topics such as algebra, geometry, and calculus. Seek Clarification and Support: Don’t hesitate to seek clarification when faced with difficulties. Reach out to your math teacher, join study groups, or participate in online forums where you can ask questions and receive guidance. Exploring different perspectives and approaches can provide valuable insights and clarity. Utilize Online Resources: Take advantage of the vast array of online resources available for improving math skills. Websites, tutorials, and video lessons can provide additional explanations, interactive exercises, and practice problems. Popular platforms like Khan Academy, Coursera, and YouTube offer a wide range of math courses and tutorials. Math Skills Unlocking Your Potential Apply Math to Real-Life Situations: Connect math to real-life scenarios to make the subject more relatable and engaging. Identify opportunities to apply mathematical concepts in everyday situations, such as calculating expenses, measuring ingredients while cooking, or analyzing data trends. Understanding the practical applications of math will enhance your problem-solving skills. Develop Mental Math Techniques: Sharpen your mental math skills by practicing mental calculations and shortcuts. Techniques like estimation, multiplication tricks, and memorizing key mathematical formulas can help you solve problems more efficiently. Regular mental math exercises can improve your number sense and overall computational speed. Engage in Critical Thinking: Mathematics requires critical thinking and logical reasoning. Solve puzzles, brain teasers, and math riddles to stimulate your analytical skills. Challenge yourself to think beyond the obvious solutions and explore multiple approaches to problem-solving. Developing a creative mindset will expand your mathematical abilities. Teach Others: Explaining mathematical concepts to others can solidify your understanding. Offer to help classmates, siblings, or friends with their math homework or start a study group where you can take turns teaching and learning from each other. Teaching others will reinforce your knowledge and boost your confidence. Improving math skills is an attainable goal with dedication, practice, and the right mindset. By implementing the strategies discussed in this blog post, you can enhance your mathematical abilities, overcome challenges, and unlock your full potential. Remember, the journey to mastery takes time, so be patient, persistent, and celebrate your progress along the way. Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Unlocking Your Potential Strategies for Improving Math Skills Read More »

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

Qestion Papers / Nayini Satyanarayana Reddy

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024 TS Inter Betterment TS BIE stands for Telangana State Board of Intermediate Education. It is an education board in the state of Telangana, India, responsible for regulating and supervising the intermediate education system. The intermediate education in Telangana comprises two years of study after the completion of secondary education (10th grade). The Telangana State Board of Intermediate Education conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) for students in the state. These examinations are held at the end of the first year (11th grade) and second year (12th grade) of intermediate education. The IPE is an important milestone for students as their performance in these exams determines their eligibility for higher education and future career prospects. The TS BIE is responsible for designing the syllabus, prescribing textbooks, conducting examinations, and declaring results for intermediate students. The board also grants affiliations to junior colleges and regulates their functioning. It aims to provide quality education and ensure the overall development of students in the state. The official website of the Telangana State Board of Intermediate Education provides detailed information about the board, its functions, examination schedules, results, and other relevant information for students, parents, and educational institutions. Maths 1B Model Paper – 1 Click Here Maths 1B Model Paper – 2 Click Here The Telangana State Board of Intermediate Education (TS BIE) was established in 2014 after the formation of the separate state of Telangana from the state of Andhra Pradesh. It is a regulatory body that oversees intermediate education in the state. Here are some key points about TS BIE: Functions: TS BIE is responsible for various parts related to intermediate education, including designing the curriculum, prescribing textbooks, conducting examinations, and issuing certificates. Syllabus: The board designs the syllabus for various streams of intermediate education, such as MPC (Mathematics, Physics, Chemistry), BiPC (Biology, Physics, Chemistry), CEC (Commerce, Economics, Civics), and MEC (Mathematics, Economics, Commerce). Examinations: TS BIE conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) annually in the state. These exams are held at the end of the first and second years of intermediate education. The IPE includes theory examinations as well as practical examinations for certain subjects. Affiliations: TS BIE grants affiliations to junior colleges in the state. The affiliated colleges are required to follow the prescribed curriculum and guidelines set by the board. Results: After the completion of examinations, the TS BIE declares the results for intermediate students. The results are typically announced in the form of grades or marks, which are crucial for students’ admission to higher education institutions. Maths 1B Model Paper 3 Click Here Maths 1B Model Paper 4 Click Here Maths 1B Model Paper 5 Click Here TS Inter Betterment Revaluation and Recounting: The board provides provisions for students to apply for revaluation or recounting of their answer scripts if they are dissatisfied with their results. This allows students to have their answer scripts re-evaluated or rechecked for any discrepancies. Scholarships: TS BIE also facilitates the disbursement of various scholarships and financial assistance schemes for eligible intermediate students. These scholarships are aimed at supporting students’ academic pursuits and encouraging their educational development. It’s important to note that the information provided here is based on the knowledge cutoff of September 2021. For the most up-to-date and accurate information, it is recommended to visit the official website of the Telangana State Board of Intermediate Education or contact the board directly. Visit my YouTube Channel: Click on the logo below

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024 Read More »

TS Inter Supplementary/betterment Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

Qestion Papers / Nayini Satyanarayana Reddy

TS Inter Supplementary/betterment Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024 TS BIE TS Inter Supplementary Stands for Telangana State Board of Intermediate Education. It is an education board in Telangana, India, responsible for regulating and supervising the intermediate education system. The intermediate education in Telangana comprises two years of study after completing secondary education (10th grade). The Telangana State Board of Intermediate Education conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) for students in the state. These examinations are held at the end of the first year (11th grade) and second year (12th grade) of intermediate education. The IPE is an important milestone for students as their performance in these exams determines their eligibility for higher education and future career prospects. The TS BIE is responsible for designing the syllabus, prescribing textbooks, conducting examinations, and declaring results for intermediate students. The board also grants affiliations to junior colleges and regulates their functioning. It aims to provide quality education and ensure the overall development of students in the state. The official website of the Telangana State Board of Intermediate Education provides detailed information about the board, its functions, examination schedules, results, and other relevant information for students, parents, and educational institutions. Maths 1A Model Paper – 1 Click Here Maths 1A Model Paper – 2 Click Here The Telangana State Board of Intermediate Education (TS BIE) was established in 2014 after the formation of the separate state of Telangana from the state of Andhra Pradesh. It is a regulatory body that oversees intermediate education in the state. Here are some key points about TS BIE: Functions: TS BIE is responsible for various parts related to intermediate education, including designing the curriculum, prescribing textbooks, conducting examinations, and issuing certificates. Syllabus: The board designs the syllabus for various streams of intermediate education, such as MPC (Mathematics, Physics, Chemistry), BiPC (Biology, Physics, Chemistry), CEC (Commerce, Economics, Civics), and MEC (Mathematics, Economics, Commerce). Examinations: TS BIE conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) annually in the state. These exams are held at the end of the first and second years of intermediate education. The IPE includes theory examinations as well as practical examinations for certain subjects. Affiliations: TS BIE grants affiliations to junior colleges in the state. The affiliated colleges are required to follow the prescribed curriculum and guidelines set by the board. Maths 1A Model Paper – 3 Click Here Maths 1A Model Paper – 4 Click Here Maths 1A Model Paper – 5 Click Here TS Inter Supplementary Results: After the completion of examinations, the TS BIE declares the results for intermediate students. The results are typically announced in the form of grades or marks, which are crucial for students’ admission to higher education institutions. Revaluation and Recounting: The board provides provisions for students to apply for revaluation or recounting of their answer scripts if they are dissatisfied with their results. This allows students to have their answer scripts re-evaluated or rechecked for any discrepancies. Scholarships: TS BIE also facilitates the disbursement of various scholarships and financial assistance schemes for eligible intermediate students. These scholarships are aimed at supporting students’ academic pursuits and encouraging their educational development. It’s important to note that the information provided here is based on the knowledge cutoff of September 2021. For the most up-to-date and accurate information, it is recommended to visit the official website of the Telangana State Board of Intermediate Education or contact the board directly. TS Inter Maths 1A & 1B Solutions Visit my YouTube Channel: Click on the logo below

TS Inter Supplementary/betterment Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024 Read More »

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s (2 Marks)

Education, TS Inter Maths, TS Inter Maths1B / Nayini Satyanarayana Reddy

Rolle’s and Langranges Theorem Rolle’s and Langranges Theorem vsaq’s Rolle’s theorem If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions f is continuous on [a, b] f is differentiable (a, b) f(a) = f(b) then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = 0 Langrage’s theorem If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions f is continuous on [a, b] f is differentiable (a, b) Then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = Rolles and Langranges Theorem vsaq’s 1. State Rolle’s theorem Sol: If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions f is continuous on [a, b] f is differentiable (a, b) f(a) = f(b) then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = 0 2. State Langrage’s theorem Sol: If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions f is continuous on [a, b] f is differentiable (a, b) Then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = 3. If f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), prove that there is more than ‘c’ in (1, 3) such that f’ (c) = 0 Sol: Given function is f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (i)f(x) is continuous on [1, 3] (ii) f(x) is differentiable on (1, 3) (iii) f(1) = (1 – 1) (1 – 2) (1 – 3) = 0 (– 1)( – 2) = 0 f(3) = (3 – 1) (3 – 2) (3 – 3) = (2) (1) (0) = 0 f(1) = f(3) f’(x) = (1 – 0) (x – 2) (x – 3) + (x – 1) (1 – 0) (x – 3) + (x – 1) (x – 2) (1 – 0) = (x – 2) (x – 3) + (x – 1) (x – 3) + (x – 1) (x – 2) = x2 – 3x – 2x + 6 + x2 – 3x – x + 3 + x2 – 2x – x + 2 = 3×2 – 12x + 11 f’ (c) = 3c2 – 12c + 11 by Rolle’s Theorem f’ (c ) = 0 3c2 – 12c + 11 = 0 4. Find all the values of ‘c’ in Rolle’s theorem for the function y = f(x) = x2 + 4 on [– 3, 3] Sol: Given function is f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) f(x) is continuous on [– 3, 3] f(x) is differentiable on (– 3, 3) f (– 3) = (– 3)2 + 4 = 9 + 4 = 13 f (3) = (3)2 + 4 = 9 + 4 = 13 f (– 3) = f(3) By Rolle’s theorem there exist c ∈ (– 3, 3) such that f’ (c) = 0 f’ (x) = 2x f’ (c) = 2c ⟹ 2c = 0 C = 0 ∈ (– 3, 3) 5. Find the value of ‘c’ from Rolle’s theorem for the function f(x) = x2 – 1 on [– 1, 1] Sol: Given function is f(x) = x2 – 1 f(x) is continuous on [– 1, 1] f(x) is differentiable on (– 1, 1) f (– 1) = (– 1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 f (– 1) = (– 1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 f (– 1) = f(1) By Rolle’s theorem there exist c ∈ (– 1, 1) such that f’ (c) = 0 f’ (x) = 2x f’ (c) = 2c ⟹ 2c = 0 c = 0 ∈ (– 1, 1) 6. It is given that Rolle’s theorem holds for the function f(x) = x3 + bx2 + ax on [1, 3] with c = 2 + . Find the values of a and b. Sol: Given function is f(x) = x3 + bx2 + ax on [1, 3] satisfying Rolle’s theorem ⟹ f(x) is continuous on [ 1, 3] f(x) is differentiable on (1, 3) f (1) = f (3) and there exists at least one c = 2 + ϵ (1, 3) such that f’ (c) = 0 now f(1) = f(3) 1 + b + a = 27 + 9b + 3a 2a + 8b + 26 = 0 a + 4b + 13 = 0 ———- (1) f’ (x) = 3 x2 + 2b x + a f’ (c) = 0 ⟹ 3 c2 + 2bc + a = 0 Since c = 2 + 3 + 2b ( ) + a = 0 3 + 4b ) + a = 0 3 + 4b ) + a = 0 + + 4b + + a = 0 13 + + 4b + + a = 0 ———- (2) Equation (2) – Equation (1) from (1) a + 4(– 6) + 13 = 0 a – 24 + 13 = 0 a = 11 ∴ a = 11, b = – 6 Rolles and Langranges Theorem vsaq’s 7. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = sin x – sin 2x on [0, π] Sol: Given function is f(x) = sin x – sin 2x f(x) is continuous on [0, π] f(x) is differentiable on (0, π) f(0) = sin (0) – sin 2(0) = 0 f( π) = sin ( π) – sin 2(π) = 0 f(0) = f( π) now f’ (x) = cos x – 2 cos 2x f ‘ (c) = 0 cos c – 2 cos 2c = 0 cos c – 2(2 cos2 c – 1) = 0 cos c – 4 cos2 c – 2 = 0 4 cos2 c – cos c + 2 = 0 c = ∈ (0, π) ∴ Rolle’s theorem is verified 8. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = (x2 – 1) (x – 2) on [ – 1, 2]

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s (2 Marks) Read More »

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు – 2026

Blog, Education / Nayini Satyanarayana Reddy

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రాచీన కాలం నుండి నేటి వరకు గణిత రంగానికి అద్భుతమైన కృషి చేశారు. ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, భాస్కర II, సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ, నీలకంఠ సోమయాజి, శ్రీనివాస రామానుజన్ మరియు వరాహమిహిర వంటి ప్రసిద్ధ పేర్లలో కొన్ని ఉన్నాయి. ఆర్యభట్ట ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, అతను సున్నా అనే భావనను కనుగొన్నాడని నమ్ముతారు. బ్రహ్మగుప్తుడు సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాల సంఖ్యాపరమైన పరిష్కారాలపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు. భాస్కర II 12వ శతాబ్దానికి చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, అతను గణితం, ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జ్యోతిషశాస్త్రంపై అనేక పుస్తకాలు రాశాడు. సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ అనంత శ్రేణిలో చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. నీలకంఠ సోమయాజి కాలిక్యులస్‌పై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. శ్రీనివాస రామానుజన్ అన్ని కాలాలలో గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా విస్తృతంగా పరిగణించబడతారు మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు గణిత విశ్లేషణపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. వరాహమిహిర ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రంలో చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు. ఈ గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరూ గణిత రంగానికి గణనీయమైన కృషి చేసారు మరియు వారి పని నేటికీ ఆధునిక గణితాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది. భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఇక్కడ కొన్ని ప్రముఖ భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల జాబితా ఉంది: ఆర్యభట్ట (జననం 476 CE) బ్రహ్మగుప్త (జననం CE 598) భాస్కర II (జననం 1114 CE) సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE) నీలకంఠ సోమయాజి (జననం 1444 CE) శ్రీనివాస రామానుజన్ (జననం 1887 CE) సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ (జననం 1910 CE) డి.ఆర్. కప్రేకర్ (జననం 1905 CE) C.R. రావు (జననం 1920 CE) వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE) 1.ఆర్యభట్ట (జననం 476 CE) ఆర్యభట (జననం 476 CE) భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు జ్యోతిష్కుడు, అతను భారతీయ గణిత శాస్త్రం మరియు ఖగోళశాస్త్రం యొక్క శాస్త్రీయ యుగంలో అభివృద్ధి చెందాడు. స్థల-విలువ వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం, సున్నా సంఖ్యను ప్రవేశపెట్టడం మరియు పై విలువను లెక్కించడం వంటి అంశాలతో సహా గణిత శాస్త్ర రంగానికి ఆయన చేసిన కృషికి అతను బాగా పేరు పొందాడు. అతను ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జ్యోతిషశాస్త్ర రంగాలకు కూడా ముఖ్యమైన కృషి చేసాడు. ఆర్యభట్టియ మరియు ఆర్య-సిద్ధాంత వంటి అతని రచనలు ఆయా రంగాలలో కళాఖండాలుగా పరిగణించబడతాయి. అతని పని భారతదేశం మరియు వెలుపల గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రం అభివృద్ధిపై ప్రధాన ప్రభావాన్ని చూపింది. 2.బ్రహ్మగుప్త (జననం 598) బ్రహ్మగుప్తుడు 7వ శతాబ్దం CEలో నివసించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. రెండు చతురస్రాల మొత్తానికి సంబంధించిన గణితంలో ముఖ్యమైన ఫలితం అయిన బ్రహ్మగుప్త సిద్ధాంతంపై చేసిన పనికి అతను బాగా పేరు పొందాడు. అతను అనేక ముఖ్యమైన ఖగోళ శాస్త్ర రచనలను కూడా రాశాడు, ఇవి ఈ కాలం నుండి భారతీయ ఖగోళ శాస్త్రం గురించి మనకు చాలా జ్ఞానానికి మూలం. గణితంలో సున్నా మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల వినియోగాన్ని ప్రవేశపెట్టిన ఘనత ఆయనదే. 3.భాస్కర II (జననం 1114 CE) భాస్కర II 12వ శతాబ్దం CEలో నివసించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. అతను కాలిక్యులస్‌పై చేసిన పనికి మరియు ఆర్యభట్ట రచనలపై అతని వ్యాఖ్యానాలకు ప్రసిద్ధి చెందాడు. అవకలన కాలిక్యులస్ సూత్రాలను మరియు ఉత్పన్నం యొక్క భావనను కనుగొన్న ఘనత ఆయనది. అతను అనేక గణిత మరియు ఖగోళ గణనలను కలిగి ఉన్న సిద్ధాంత శిరోమణి అనే పేరుతో ఖగోళ శాస్త్రంపై ఒక గ్రంథాన్ని కూడా రాశాడు. భాస్కర II యొక్క రచనలు భారతదేశంలో మరియు ప్రపంచవ్యాప్తంగా గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రం అభివృద్ధిలో ప్రభావం చూపాయి. భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు 4. సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE) సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE) అన్ని కాలాలలో అత్యంత ప్రభావవంతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా విస్తృతంగా పరిగణించబడుతుంది. పై కోసం అనంత శ్రేణి మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల కోసం పవర్ సిరీస్ విస్తరణతో సహా అనేక ముఖ్యమైన గణిత సిద్ధాంతాలను కనుగొన్న ఘనత ఆయనది. అతను ఏకీకరణ మరియు అవకలన సమీకరణాల యొక్క అనేక పద్ధతులను కూడా అభివృద్ధి చేశాడు. భారతదేశంలోని మొదటి గణిత పాఠశాలలలో ఒకటైన కేరళ స్కూల్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ స్థాపకుడిగా ఆయన ఈ రోజు జ్ఞాపకం చేసుకున్నారు. ఆధునిక గణితశాస్త్రం అభివృద్ధిలో అతని పని ప్రధాన పాత్ర పోషించింది మరియు అతను తరచుగా “మధ్యయుగ భారతదేశం యొక్క గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు” గా సూచించబడ్డాడు. 5.నీలకంఠ సోమయాజి (జననం 1444 CE) నీలకంఠ సోమయాజి 1444 CEలో జన్మించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు జ్యోతిష్కుడు. అతను హిందూ క్యాలెండర్ యొక్క ఖగోళ గణనలపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు మరియు కోపర్నికన్ మోడల్‌కు సమానమైన విశ్వం యొక్క సూర్యకేంద్రక నమూనాను ప్రతిపాదించిన ఘనత కూడా అతనికి ఉంది. అతను కేరళ స్కూల్ ఆఫ్ ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి చేయడంలో ప్రధాన వ్యక్తి. అతను ప్రసిద్ధ ఆర్యభట్యభాష్యంతో సహా అనేక గ్రంథాలను రచించాడు, ఇది గణితశాస్త్రం మరియు ఖగోళ శాస్త్రంపై ఆర్యభట్ట యొక్క ప్రసిద్ధ రచన యొక్క విస్తరించిన సంస్కరణ. ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రానికి నీలకంఠ సోమయాజి చేసిన కృషి నేటికీ అధ్యయనం చేయబడుతోంది మరియు అతని రచనలు ఇప్పటికీ ఆధునిక పరిశోధనలకు రిఫరెన్స్ పాయింట్‌లుగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. 6. శ్రీనివాస రామానుజన్ (జననం 1887 CE) శ్రీనివాస రామానుజన్ చరిత్రలో గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా గుర్తుంచుకుంటారు. భారతదేశంలోని మద్రాసులో 1887 CEలో జన్మించిన రామానుజన్ ఎక్కువగా స్వీయ-బోధన కలిగి ఉన్నాడు మరియు అధికారిక విశ్వవిద్యాలయ విద్యను కలిగి ఉండడు. అతను గణనీయమైన సహకారం అందించాడు గణిత విశ్లేషణ, సంఖ్య సిద్ధాంతం, అనంత శ్రేణి మరియు నిరంతర భిన్నాలు. రామానుజన్ రచనలు ఆధునిక గణితశాస్త్రంపై తీవ్ర ప్రభావాన్ని చూపాయి మరియు తరతరాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రేరణగా నిలిచాయి. అతని ఆవిష్కరణలు మరియు రచనలు పూర్తిగా కొత్త అధ్యయన రంగాలను తెరిచాయి మరియు అతని వారసత్వం రాబోయే సంవత్సరాల్లో అనుభూతి చెందుతూనే ఉంటుంది. 7. సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ (జననం 1910 CE) సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ 1910లో జన్మించిన భారతీయ-అమెరికన్ ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు నోబెల్ గ్రహీత. అతను నక్షత్రాల పరిణామం, బ్లాక్ హోల్స్ మరియు నక్షత్రాల భౌతిక ప్రక్రియల అవగాహనకు ప్రాథమిక సహకారం అందించాడు. తెల్ల మరగుజ్జు నక్షత్రం యొక్క గరిష్ట ద్రవ్యరాశిని తెలిపే చంద్రశేఖర్ పరిమితి అని ఇప్పుడు పిలువబడే దాని ఉనికిని సూచించిన మొదటి వ్యక్తి. నక్షత్రాల నిర్మాణం మరియు పరిణామంపై చేసిన కృషికి గాను 1983లో భౌతిక శాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతిని అందుకున్న మొదటి ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. అతను 20వ శతాబ్దపు అత్యంత ప్రభావవంతమైన ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరిగా పరిగణించబడ్డాడు మరియు ఆధునిక ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రంలో అతని సంచలనాత్మక పరిశోధన అధ్యయనం మరియు అన్వయించడం కొనసాగుతోంది. 8.డి.ఆర్. కప్రేకర్ (జననం 1905 CE) డి.ఆర్. కప్రేకర్ 1905 CEలో జన్మించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు వినోద కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్త. అతను కప్రేకర్ యొక్క స్థిరాంకాన్ని కనిపెట్టడంలో ప్రసిద్ధి చెందాడు, ఇది 6174 ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది. అతను కప్రేకర్ యొక్క కార్యకలాపాలను కూడా కనుగొన్నాడు, ఇవి ఏ సంఖ్యనైనా మార్చడానికి మరియు కప్రేకర్ యొక్క స్థిరాంకాన్ని ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపయోగించే దశల శ్రేణి. అతని పని క్రిప్టోగ్రఫీ మరియు నంబర్ థియరీ వంటి వివిధ రంగాలలో ఉపయోగించబడింది. అతను ఆసక్తిగల వంతెన ఆటగాడు, మరియు ఈ అంశంపై అనేక పుస్తకాలు రాశాడు. కప్రేకర్ వారసత్వం ఈనాటికీ కొనసాగుతోంది మరియు అతని పని గణిత రంగంలో శాశ్వత ప్రభావాన్ని చూపింది. 9.C.R. రావు (జననం 1920 CE) C.R. రావు (జననం 1920 CE) ఒక భారతీయ-అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, గణాంకవేత్త మరియు ప్రొఫెసర్. అతను స్టాటిస్టిక్స్ రంగంలో అగ్రగామి నిపుణులలో ఒకరిగా పరిగణించబడ్డాడు, అంచనా సిద్ధాంతం, మల్టీవియారిట్ విశ్లేషణ మరియు అవకలన జ్యామితి రంగాలకు ప్రధాన కృషి చేశాడు. రావు లీనియర్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫెరెన్స్ మరియు ఇట్స్ అప్లికేషన్స్ అండ్ స్టాటిస్టిక్స్ అండ్ ట్రూత్‌తో సహా అనేక పుస్తకాలను కూడా రచించారు. అతను సాంఖ్య జర్నల్‌కు వ్యవస్థాపక సంపాదకుడు మరియు పెన్ స్టేట్ యూనివర్శిటీలో G.S. మద్దాల చైర్ మరియు పిట్స్‌బర్గ్ విశ్వవిద్యాలయంలో స్టాటిస్టిక్స్ విభాగానికి చైర్‌తో సహా అనేక విద్యాపరమైన పదవులను నిర్వహించారు. గణాంక రంగానికి చేసిన కృషికి గాను రావుకు 2002లో నేషనల్ మెడల్ ఆఫ్ సైన్స్ మరియు 2001లో పద్మభూషణ్ లభించాయి. 10.వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE) వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE) ఒక భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఆర్థికవేత్త మరియు సామాజిక కార్యకర్త. అతను గణిత ఆర్థిక శాస్త్ర రంగంలో తన మార్గదర్శక కృషికి, అణగారిన వర్గాల హక్కుల కోసం అలుపెరగని పోరాటానికి మరియు సామాజిక న్యాయం కోసం జీవితకాల నిబద్ధతకు ప్రసిద్ధి చెందాడు. అతను అనేక పుస్తకాలను రచించాడు మరియు భారతదేశంలోని అనేక విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రొఫెసర్‌గా పనిచేశాడు. అంతర్జాతీయంగా పలు విశ్వవిద్యాలయాల్లో విజిటింగ్ ప్రొఫెసర్‌గా కూడా సేవలందించారు. అతను అనేక విశ్వవిద్యాలయాలలో అనేక గౌరవ పదవులను నిర్వహించాడు మరియు జాతీయంగా మరియు అంతర్జాతీయంగా అనేక అవార్డులతో సత్కరించబడ్డాడు. గణితం, ఆర్థిక శాస్త్రం మరియు

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు – 2026 Read More »

Ch. 2 Mathematical Indunction Exerxise Solutions

Education, TS Inter Maths 1A / Nayini Satyanarayana Reddy

Mathematical Indunction (M.I) Exerxise wise Solutions Mathematical Indunction: It is a technique for proving results or establishing statements for natural numbers. This part illustrates the method through a variety of examples. Definition: Mathematical Induction is a mathematical technique which is used to prove a statement, a formula or a theorem is true for every natural number. The technique involves steps to prove a statement, as stated below − Let P(n) or S(n) be the given statement Step 1: For n =1 we get LHS = RHS then P(n) is true for n= 1 Step 2: Let us assume thet P(n) is true for n =k Step 3: We have to Prove P(n) is true for n= k + 1 Laplace: Laplace was a mathematecian and astronomer whose work was pivotal to the development of mathematical astronomy. His most outstanding work was done in the fields of celestial mechonics, probability, differential equations, and geodesy. His five volume work on celestial mechonics earned him the title of the Newton of France. “Analysis and natural philosophy owe their most important discoveries to this fruitful means, which is called indunction” – Pierr Simon de Laplace Exercise 2(a) Using Mathematical Indunction, Prove each of the following statement for all n ∈ N. 1. 12 + 22 + 32 + …… + n2= Let p(n) be the given statement that 12 + 22 + 32 + …… + n2= For n= 1 LHS = 12 = 1 RHS = = = 1 LHS = RHS P(n) is true for n = 1 Let us assume that P(n) is true for n = k i.e., 12 + 22 + 32 + …… + k2= ………… (1) for n = k + 1 add (k +1)2 on both sides of (1) 12 + 22 + 32 + …… + k2 + (k +1)2 = P(n) is true for n = k+ 1 ∴ By the principle of M.I. P(n) is true for all n ∈ N ∴ 12 + 22 + 32 + …… + n2= 2. 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… up to n terms = First factors of given series are: 2, 3, 4, 5, … a = 2, d = 1 an = a + (n – 1) d = 2 + (n – 1) (1) = 2 + n – 1 = n + 1 Second factors of given series are: 3, 4, 5,… a = 3, d = 1 an = 3 + (n – 1) d = 3 + (n – 1) (1) = 3 + n – 1 = n + 2 nth term of given series is (n + 1) (n + 2) let P(n) be the given statement that 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (n + 1) (n + 2) = For n = 1 LHS = 2.3 = 6 RHS = = = = 6 LHS = RHS P(n) is true for n = 1 Let us assume that P(n) is true for n = k i.e., 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (k + 1) (k + 2) = ………… (1) for n = k + 1 add (k + 2) (k + 3) on both sides of (1) 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (k + 1) (k + 2) + (k + 2) (k + 3) = + (k + 2) (k + 3) P(n) is true for n = k+ 1 ∴ By the principle of M.I. P(n) is true for all n ∈ N ∴ 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… up to n terms = 3 . Sol: let P(n) be the given statement that For n = 1 LHS = = RHS = = = LHS = RHS P (n) is true for n = 1 Let us assume that P(n) is true for n = k ………… (1) For n = k + 1 Add on both sides of (1) P (n) is true for n = k + 1 ∴ By the principle of M.I. P(n) is true for all n ∈ N ∴ 4. 43 + 83 + 123 + … up to n terms = 16 n2 (n + 1)2 Sol: let P(n) be the given statement that 4, 8, 12, … are in AP a = 4, d = 4 an = a + (n – 1) d = 4 + (n – 1)4 = 4 + 4n – 4 = 4n nth term of given series is (4n)3 let P(n) be the given statement that 43 + 83 + 123 + … + (4n)3= 16 n2 (n + 1)2 For n = 1 LHS = 43 = 63 RHS = 16 (1)2 (1 + 1)2 = 16 × 4 = 64 LHS = RHS P (n) is true for n = 1 Let us assume that P(n) is true for n = k 43 + 83 + 123 + … +

Ch. 2 Mathematical Indunction Exerxise Solutions Read More »

Functions Exercise 1c Solutions ||TS|| Basics In MAths

Education, TS Inter Maths 1A / Nayini Satyanarayana Reddy

Functions Exercise 1c Solutions Functions Exercise 1c The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function. Function: A variable is a symbol which represents any one of a set of numbers, if two variables x and y so related that whenever a value is assigned to x there is autometically assigned by some rule or correspondence a value to y, then we say y is a function of x. Chapter 1 Functions Exercise 1c Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com Functions Exercise 1c I. 1.Find the domains of the following real valued functions (i) f (x) = given function is f (x) = f (x) is defined when (x2 – 1) (x + 3) ≠ 0 ⟹ (x2 – 1) ≠ 0 or (x + 3) ≠ 0 ⟹ (x + 1) (x – 1) ≠ 0 or (x + 3) ≠ 0 ⟹ x ≠ 1, x ≠ – 1 or x ≠ – 3 ∴ Domain of f(x) is R – {– 1, – 3, 1} (ii) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0 ⟹ x ≠ 1, x ≠ 2 or x ≠ 3 ∴ Domain of f(x) is R – {1, 2, 3} (iii) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when 2 – x > 0 and 2 – x ≠ 1 ⟹ 2 > x and 2 – 1 ≠ x ⟹ 2 > x and x ≠ 1 ∴ Domain of f(x) is (– ∞, 2) – {1} (iv) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x ∈ R ∴ Domain of f(x) is R Functions Exercise 1c (v) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when 4x – x2 ≥ 0 ⟹ x (4 – x) ≥ 0 ⟹ x (x – 4) ≤ 0 ⟹ (x – 0) (x – 4) ≤ 0 ⟹ x ∈ [0, 4] ∴ Domain of f(x) is [0, 4] (vi) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when 1 – x2 > 0 ⟹ x2 – 1 < 0 ⟹ (x – 1) (x + 1) < 0 ⟹ x ∈ (– 1, 1) ∴ Domain of f(x) is (– 1, 1) (vii) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x + 1≠ 0 ⟹ x ≠ – 1 ∴ Domain of f(x) is R – {– 1} (viii) f(x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x2 – 25 ≥ 0 ⟹ (x – 5) (x + 5) ≥ 0 ⟹ x ∈ (–∞, –5] ∪ [5, ∞) ⟹ x ∈ R – (– 5, 5) ∴ Domain of f(x) is R – (– 5, 5) Functions Exercise 1c (ix) f(x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x – [x] ≥ 0 ⟹ x ≥ [x] ⟹ x ∈ R ∴ Domain of f(x) is R (x) f(x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when [x] – x ≥ 0 ⟹ [x] ≥ x ⟹ x ∈ Z ∴ Domain of f(x) is Z Functions Exercise 1c 2. find the ranges of the following real valued functions (i) f(x) = Given function is f (x) = Let y = ⟹ |4 – x2| = ey ∵ ey > 0 ∀ y ∈ R ∴ Range of f(x) is R (ii) f(x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when [x] – x ≥ 0 ⟹ [x] ≥ x ⟹ x ∈ Z Domain of f(x) is Z Range of f = {0} (iii) f(x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x ∈ R Domain of f(x) is R For x ∈ R [x] is an integer Since sin nπ = 0, ∀ n ∈ z ⟹ sin π[x] = 0 ∴ Range of f = {0} (iv) f (x) = Given function is f (x) = f (x) is defined when x – 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2 Domain of f(x) is R – {2} Let y = = = x + 2 If x = 2 ⟹ y = 2 + 2 = 4 ∴ Range of f(x) is R – {4} Functions Exercise 1c (v) f (x) = let y = y2 = 9 + x2 x2 = y2 – 9 x = it is defined when y2 – 9 ≥ 0 ⟹ (y – 3) (y + 3) ≥ 0 y ∈ (– ∞, – 3] ∪ [3, ∞) but y = ≥ 0 ∴ Range of f(x) is [3, ∞) 3. If f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x2 then find Sol: Given f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x2 (i) (3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2g (x) = 3 (2x – 1) – 2(x2) = 6x – 3 – 2×2 = – 2×2 + 6x – 3 ∴ (3f – 2g) (x) =– 2×2 + 6x – 3 (ii) (fg) (x) = f (x) g (x) = (2x – 1) (x2) = 2×3 + x2 ∴ (fg) (x) = 2×3 + x2 (iii) 4. If f = {(1, 2), (2, – 3) (3, – 1)} then find (i) 2f (ii) (fog)

Functions Exercise 1c Solutions ||TS|| Basics In MAths Read More »

Functions Exercise 1b Solutions

Education, TS Inter Maths 1A / Nayini Satyanarayana Reddy

Functions Exercise 1b Solutions Functions Exercise 1b The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function. Function: A variable is a symbol which represents any one of a set of numbers, if two variables x and y so related that whenever a value is assigned to x there is autometically assigned by some rule or correspondence a value to y, then we say y is a function of x. Chapter 1 Functions Exercise 1b Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com Functions Exercise 1b Exercise 1(b) Solutions I. 1.If f (x) = ex and g(x) = , then show that f og = gof and f-1 = g-1 Sol: Given f (x) = ex and g(x) = (fog) (x) = f (g (x)) = f ( ) = = x ————- (1) (gof) (x) = g (f (x)) = g (ex) = = x = x ————- (2) From (1) and (2) f og = gof let y = f(x) x = f-1(y) y = ex x = f-1 (x) = let g(x) = z x = g-1(z) z = x = ez g-1 (x) = ex 2. If f (y) = , g (y) = then show that fog(y) = y Sol: Given f (y) = , g (y) = Now fog(y) = f(g(y)) ∴ fog(y) = y 3. If f: R ⟶ R, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2×2 + 3 ang g (x) = 3x – 2 then find (i) (fog) (x) (ii) (gof) (x) (iii) (fof) (0) (iv) go(fof)(3) Sol: Given f: R ⟶ R is, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2×2 + 3 ang g (x) = 3x – 2 (i) (fog) (x) = f(g(x)) = f(3x – 2) = 2 (3x – 2)2 + 3 = 2 (9×2 – 12x + 4) + 3 = 18 x2 – 24x + 8 + 3 = 18 x2 – 24x + 11 ∴ (fog) (x) = 18 x2 – 24x + 11 (ii) (gof) (x) = g (f (x)) = g (2×2 + 3) = 3(2×2 + 3) – 2 = 6×2 + 9 – 2 = 6 x2 + 7 ∴ (gof) (x) = 6 x2 + 7 PDF Files || Inter Maths 1A &1B || (New) 6th maths notes|| TS 6 th class Maths Concept TS 10th class maths concept (E/M) (iii) (fof) (0) = f (f (0)) = f (2(0)2 + 3) = f (2(0) + 3) = f (3) = 2 (3)2 + 3 = 2 (9) + 3 = 18 + 3 = 21 (iv) go(fof) (3) = go (f (f (3))) = go (f (2 (3)2 + 3)) = go (f (21)) = g (f (21)) = g (2 (21)2 + 3)) = g (2 (441) + 3)) = g (882 + 3) = g (885) = 3 (885) – 2 = 2655 – 2 = 2653 ∴ go(fof) (3) = 2653 Functions Exercise 1b Ts Inter Maths IA Concept 4. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x2 + 1, then find (i) (fof) (x2 + 1) (ii) (fog) (2) (iii) (gof) (2a – 3) Sol: Given f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x2 + 1 (i) (fof) (x2 + 1) = f (f (x2 + 1)) = f (3 (x2 + 1)– 1) = f (3×2 + 3– 1) = f (3×2 + 2) = 3(3×2 + 2) – 1 = 9×2 + 6 – 1 = 9×2 + 5 (ii) (fog) (2) = f (g (2)) = f (22 + 1) =f (4 + 1) = f (5) = 3(5) – 1 = 15 – 1 = 14 (iii) (gof) (2a – 3) = g (f (2a – 3)) = g (3(2a – 3) – 1) = g (6a – 9 – 1) = g (6a – 10) = (6a – 10)2 + 1 = 362 – 120a + 100 + 1 = 362 – 120a + 101 5. If f(x) = and g(x) = for all x ∈ (0, ∞) then find (gof) (x) Sol: Given f(x) = and g(x) = for all x ∈ (0, ∞) (gof) (x) = g (f (x)) = g ( ) = ∴ (gof) (x) = 6. If f(x) = 2x – 1 and g(x) = for all x ∈ R then find (gof) (x) Sol: Given f(x) = 2x – 1 and g(x) = for all x ∈ R ∴ gof(x) = x 7. If f (x) = 2, g (x) = x2 and h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find (fo(goh)) (x) Sol: Given f (x) = 2, g (x) = x2 and h(x) = 2x ∀ x ∈ R (fo(goh)) (x) = fo (g (h (x)) = fo g(2x) = f (g(2x)) = f((2x)2) = f(4×2) = 2 ∴ (fo(goh)) (x) = 2 Functions Exercise 1b Solutions 8. Find the inverse of the following functions (i) a, b ∈ R, f: R ⟶ R defined by f(x) = ax + b, (a ≠ 0) Given a, b ∈ R, f: R ⟶ R defined by f(x) = ax + b Let y = f(x) x = f-1(y) now y =

Functions Exercise 1b Solutions Read More »

chapter 1 Functions Exercise 1a Solutions

Education, TS Inter Maths 1A / Nayini Satyanarayana Reddy

Functions Exercise 1a Solutions Functions Exercise 1a The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function. Function: A variable is a symbol which represents any one of a set of numbers, if two variables x and y so related that whenever a value is assigned to x there is autometically assigned by some rule or correspondence a value to y, then we say y is a function of x. Chapter 1 Functions Exercise 1a Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com Exercise 1a I. 1. If the function f is defined by then find the values of (i) f (3) (ii) f (0) (iii) f (– 1.5) (iv) f (2) + f (– 2) (v) f (– 5 ) Sol: Given Domain of f(x) is (– 3, ∞) (i) f (3) 3 lies in the interval x > 1 ⟹ f(x) = x + 2 f(3) = 3 + 2 = 5 ∴ f (3) = 5 (ii) f (0) 0 lies in interval – 1 ≤ x ≤ 1 ⟹f(x) = 2 ∴ f (0) = 2 (iii) f (– 1.5) – 1.5 lies in interval – 3 < x < – 1 ⟹f(x) = x – 1 f (– 1.5) = – 1.5 – 1 = – 2.5 ∴ f (– 1.5) = – 2.5 (iv) f (2) + f (– 2) 2 lies in the interval x > 1 ⟹ f (x) = x + 2 f (3) = 2 + 2 = 4 f (2) = 4 – 2 lies in interval – 3 < x < – 1 ⟹f(x) = x – 1 f (– 2) = – 2 – 1 = – 3 f (– 2) = – 2 – 1 = – 3 now f (2) + f (– 2) = 4 – 3 = 1 ∴ f (2) + f (– 2) = 1 (v) f (– 5) since domain of f(x) is (– 3, ∞) f (– 5) is not defined 2. If f: R – {0} ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f (x) + f (1/x) = 0 Sol: Given f: R – {0} ⟶ R is defined by f(x) = f (1/x) = Now f (x) + f (1/x) = ∴ f (x) + f (1/x) = 0 3. If f: R ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f (tan θ) = cos 2θ Sol: Given f: R ⟶ R is defined by f(x) = f (tan θ) = = cos 2θ 4. If f: R – {±1} ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f = 2 f (x) Sol: Given f: R – {±1} ⟶ R is defined by f(x) = 5. If A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} and f: A ⟶ B is a surjection (onto function) defined by f(x) = x2 + x + 1, then find B Sol: Given A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = x2 + x + 1 f(– 2) = (–2)2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3 f(– 1) = (–1)2 + (–1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1 f(0) = (0)2 + (0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 f(1) = (1)2 + (1) + 1 =1 +1 + 1 = 3 f( 2) = (2)2 + (2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 4 ∴ B = {1, 3, 7} TS 10th class maths concept (E/M) Functions Exercise 1a 6. If A = {1, 2, 3,4} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = , then find range of f. Sol: Given A = {1, 2, 3,4} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = 7. If f (x + y) = f (xy) ∀ x, y ∈ R, then prove that f is a constant function Sol: Given f (x + y) = f (xy) ∀ x, y ∈ R Let x = 0 and y = 0 f (0 + 0) = f (0 × 0) = f (0) f (1) = f (0 + 1) = f (0 × 1) = f (0) f (2) = f (1 + 1) = f (1 × 1) = f (1) = f (0) f (3) = f (1 + 2) = f (1 × 2) = f (2) = f(0) Similarly, f(4) = 0 f(5) = 0 and so on. ∴ f is a constant function PDF Files || Inter Maths 1A &1B || (New) 6th maths notes|| TS 6 th class Maths Concept II. 1. If A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x2, g(x) = x3, which of the following are surjections? (i) f: A ⟶ A (ii) g: A ⟶ A Sol: (i) Given A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x2 A = {– 1, 0, 1}; f: A ⟶ A f (x) = x2 f (– 1) = (– 1)2 = 1 f (0) = (0)2 = 0 f (1) = (1)2 = 1 ∵ range is not equal to co domain of f f is nor a surjection (ii) A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, g (x) = x3 A = {– 1, 0, 1}; g: A ⟶ A g (x) = x3 g (– 1) = (– 1)3 =

chapter 1 Functions Exercise 1a Solutions Read More »

Ts polycet | Maths solved previous qp 2020 || Solved Papers

Education, Polycet / Nayini Satyanarayana Reddy

polycet solved previous qp 2020 FIMTS polycet For TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2020 MathTs polycet|| Maths solved previous qp 2020 || Solved Papers TS polycet solved previous qp 2020 The State Board of Technical Education and Training (SBTET), Telangana, Hyderabad, will conduct “Polytechnic Common Entrance Test (TS POLYCET)” for the candidates seeking admission into all Diploma Courses in Engineering /Non-Engineering Technology. The Main Subjects in this TS Polycet Exams are Maths, Physics, Chemistry and Biology. Here we are providing the Previous Maths Papers Questions and Solutions. The syllabus of Maths, Physics, Chemistry and Biology for TS POLYCET-2020 is the same as that of SSC Examination conducted by the Board of Secondary Education, Telangana. TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2021 Mathematics gives an idea becuase, it is very helpful to solve the problems in TS POLYCET entence examination TS Polycet Solved Question Papers TS Polycet Ts polycet solved previous qp 2020 Chapter 1: Real Numbers 1.If 7 divides a2 then a2 ను 7 భాగించినచో (1) 7 divides a (a ను 7 భాగిస్తుంది) (2) 7 divides ( ను 7 భాగిస్తుంది) (3) a divide 7 (7 ను a భాగిస్తుంది) (4) none (ఏదీ కాదు) Answer: (1) 2. In the formula , which of the following is true? అయిన, ఈ క్రింది వాటిలో ఏది సత్యము. (1) x > 0, y > 0, a = 1 (2) x < 0, y < 0, a = 1 (3) a > 0, y > 0, x = 1 (4) x > 0, y > 0, a ≠ 1 Answer: (4) 3. 5 =____________ Answer: (3) 4. then x = అయిన, x = (1) n (2) 1 (3) 5 (4) 2 Answer: (4) 5. , ac = ___ అయిన, ac = ___ (1)a2 (2)b2 (3) c2 (4) None(ఏది కాదు) Answer: (2) TS 10th class maths concept (E/M) TS 6th Class Maths Concept TS 10th Class Maths Concept (T/M) TS Polycet Chapter 2: Sets 1.Cardinal number of set A = {P, O, L, Y, T, E, C, H, N, I, Q} , B = {P, O, L, Y, C, E, T, 2020}, then B – A = A = {P, O, L, Y, T, E, C, H, N, I, Q} , B = {P, O, L, Y, C, E, T, 2020}, అయిన B – A = (1) {20} (2) {2020} (3) {40} (4) none (ఏది కాదు) Answer: (2) 2. If A = {a} and B = {a, b} , C = {a, b, c}, then A ∩ B ∩ C = A = {a} and B = {a, b} , C = {a, b, c}, అయిన A ∩ B ∩ C = (1) {a} (2) {b} (3) {c} (4) {2021} Answer: (1) Ts Inter Maths IA Concept TS 10th class maths concept (E/M) TS 6th Class Maths Concept Chapter 3: Polynomials 1. Product of the polynomials (x3 – 8), (x – 8) is denoted by p(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx +e, then p (8) = (x3 – 8), (x – 8) అను బహుపదుల లబ్దము p(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx +e అయిన, p (8) = (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 Answer: (1) 2. If α, β are the zeroes of x2 – 1 , α + β = α, β లు x2 – 1అనే వర్గ బహుపదికి శూన్యాలు అయితే α + β విలువ? (1) 0 (2) 1 (3) – 1 (4) 2 Answer: (1) Chapter 4: Linear equations in Two Variables 1.For the equation 2019x + 2020y = 4040, when x= 0 the value of y = 2019x + 2020y = 4040 అను సమీకరణమునకు x= 0 అయిన, y విలువ (1) 2020 (2) 2019 (3) 4 (4) 2 Answer: (4) 2. Solution of the equations 7x + 5y = 12 and 5x – 7y = – 2, not equal to 7x + 5y = 12 మరియు 5x – 7y = – 2 సమీకరణాల సాధన ఈ క్రిది వానీలో దేనికి సమాన కాదు Answer: (1) 3. If then (x, y) = అయిన,(x, y) = (1) (2019, 2020) (2) (2020, 2019) (3) (2019, 2019) (4) (2020, 2020) Answer: (1) 4. If (5, 2) is the solution 2x + 3y = 20, ax – by = 0, the (a, b) = 2x + 3y = 20, ax – by = 0 ల సాధన (5, 2) అయిన (a, b) = (1) (2, 5) (2) (5, 2) (3) (– 2, 5) (4) (– 5, 2) Answer: (1) 5. If the system of equations x – y = 1 and ax + y = 2 has unique solution then జత సమీకరణాలకు x – y = 1,

Ts polycet | Maths solved previous qp 2020 || Solved Papers Read More »